まゆみ  さんからの質問 　　　　2003/10/19(Sun) 09:56
 

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊ 問題１ 図のように、2直線l,mが円Ｏと交わっているとき、円のＯの円周上にあって、2直線ｌ、ｍまでの距離が等しい点を求めるにはどうすればいいのですか？ 図をみると2つの直線はＯに交わっていないのですが。。 　もうだめ！解答を見せて！

問題２ 　∠AOBの辺ＯＡ上に２定点Ｐ，Ｑがあり、辺ＯＢ上に２定点Ｒ，Ｓがあって、ＰＱ＝ＲＳである。いま、∠ＡＯＢの内部に点Ｔをとり、ＴＱ＝ＰＱであって、△ＴＰＱの面積と△ＴＲＳの面積が等しくなるようにしたい。このような点Ｔを、作図によって求め方がわかりません。 　もうだめ！解答を見せて！

問題３ 図のように、∠ＸＯＹの辺ＯＹ上に点Ａ，辺ＯＸ上に点Ｂがある。いま、辺ＯＸ上に点Ｐをとり、線分ＰＡ、ＰＯ、ＯＢの長さの間に、ＰＡ＋ＰＯ＝ＯＢの関係が成り立つようにしたい。 このような点Ｐを作図によって求める仕方がわかりません。 　もうだめ！解答を見せて！

問題４ 図で、Ｐ地点から川　l上の地点Ａへ生き、Ａから川岸m上の地点Ｂへ行ってＰ地点にもどる。このとき、道のにが最短になるような地点Ａ，Ｂを求める方法がわかりません。 　もうだめ！解答を見せて！　 ＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

　　質問のＰＡＧＥへ　　　　ＨＯＭＥへ　

解答

	�@ 「2直線ｌ、ｍまでの距離が等しい点」 がキーワードです！ ２直線から等しい距離にある⇒角の二等分線！ ですから・・ｌ，ｍの作る角を二等分して・・ 円Ｏに交わる点が・・求めるｐ，ｑということになります！
	�A 　「△ＴＰＱの面積と△ＴＲＳの面積が等しくなる」 　がキーワードですね！ 　この２つの三角形のＰＱ＝ＲＳですから底辺が等しいわけです！ 　後は、高さが等しければよい！ 　ＰＱからとＲＳからの距離が等しい点⇒角の二等分線 　あとは「ＴＱ＝ＰＱ」という条件に合うように計れば・・ 　Ｔが見つかります！
	�B 　「ＰＡ＋ＰＯ＝ＯＢの関係が成り立つ」ためには・・ 　　図のようにＡＰ＝ＰＢであれば・・ＯＰ＋ＰＡ＝ＯＢとなる！ 　　つまり・・ 　点Ｐは２点Ａ，Ｂから等しい距離にある点⇒垂直二等分線 　図のように垂直二等分線を作図！ 　ＯＢと交わった点が求める点Ｐ
	�C 　　「行って帰る：最短距離」の問題は・・基本的に鏡に写す！ 　　ということを覚えておきましょう！ 　　図のように点Ｐを　ｌ　を軸に対称に写します。 　　また、同様に点Ｐを　ｍ　を軸に対称に写します。 　　写し方は、図のように垂線の作図の方法でできます。 　　点Ｐの対称な点Ｑ，Ｒを結ぶと 　　ｌ，ｍと交わる点が出てくる。 　　それぞれを　点Ａ，Ｂとする 　　ここで、確認！ 　　ＱＡ＝ＡＰ　，　ＲＢ＝ＢＰ　です。 　　 　　つまり・・ 　　ＰＡ＋ＡＢ＋ＢＰ＝ＱＡ＋ＡＢ＋ＢＲ＝ＱＰ 　　 　　↑この考え方には下のような考え方が必要です！ 　　確認のために、 　　上記の方法で見つけたＡ，Ｂ以外の点が最短ではないか！？ 　　と疑ってみましょう。 　　左図の点Ｃや点Ｄをとって考えてみます。 　　ＱＣ＝ＣＰ，ＲＤ＝ＤＰ　ですから 　　ＱＣ＋ＣＤ＋ＤＲ　が　ＰＣ＋ＣＤ＋ＤＰ 　　　　　　　　　　　　　　を表していることは分かります。 　　しかし、直線　ＱＲ　と　ＱＣ＋ＣＤ＋ＤＲでは・・ 　　ＱＲが短いというのは・・一目瞭然！ 　　つまり、最短なのは・・Ａ，Ｂのときなのです。
	点Ａから出発して、直線ｍ上の点に行き、 点Ｂに帰るという場合 左のようにいろいろな経路が考えられる。
	そこで、左図のように 点Ｂをｍと線対称に移動してみる。
	見ての通り、点Ｐがどこであっても・・ ＰＢ＝ＰＢ’であるから・・ ＡＰＢ’が最も短い場所を見つければ・・ 折り返し点として最適のＰが見つかる！ それが・・ 左図の赤の状態・・！ ＡＰＢ’が一直線に並ぶとき！