四角錐に関する問題

しゅんさんからの情報

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よろしくお願いします・・・。投稿者：しゅん 2003/11/16(Sun) 23:04 No.449 [返信]

図→

図のような正四角錐がある。底面ABCDは１辺が５√２cmの正方形で、底面の対角線ACとBDの交点をHとすると、高さOHは１０cmである。辺OA上に点Pをとり、Pを通り底面に平行な平面PQRSで、この正四角錐を切る。
OP=xcm、正方形PQRSの面積をycm^2として次の問いに答えよ。

（１）辺OAの長さを求めよ。（←これはできました）
（２）yをxの式で表せ。
（３）y=25/2になるときの四角錐O-PQRSの体積を求めよ。

すみませんが、（２）（３）の解き方を教えて下さい。よろしくおねがいします・・・。

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　コメント；三平方の定理は、どこに直角三角形を見つけるかが重要！
　　　　　　面積を比較する場合は基本的には、底辺の比で出せます！
　　　　　　面積の比に関しては慣れが必要ですね！

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解説

①② ③④	１）ＯＡの長さを求める　　ＯＡを含む直角三角形は　　左の図①の黄色部分　△ＯＡＨ　であるから　　図②　のようにかきだしてみる　　∠Ｈが垂直なので　　ＯＡ^２＝ＯＨ^２＋ＡＨ^２　　条件から　ＯＨ＝１０　は分かっている！　　しかし、ＡＨが分からない。　　ＡＨを含む直角三角形を探す　　図③のように緑色部分　△ＡＢＣ　がある。　　図④のように　△ＡＢＣを書き出してみて考える。　　ＡＣ^２＝ＡＢ^２＋ＢＣ^２　　　　ＡＨはＡＣの半分で考えればよい！　　ＡＣ^２＝(５√２)^２＋(５√２)^２　　このことから　ＡＣ＝１０　　　　　　だから　ＡＨ＝５　また　　ＯＡ^２＝ＯＨ^２＋ＡＨ^２だから　　ＯＡ^２＝(１０)^２＋(５)^２　これを解いて　　ＯＡ＝５√５　ｃｍ
	２）正方形ＰＱＲＳの面積を出すためには・・　　辺ＰＱの長さをχで表せばよい。　　仮にＰＱの長さを　ａ　とすると　　△ＯＡＢと　△ＯＰＱは相似であるので　　左図のように見比べると　　ＯＡ：ＯＰ＝ＡＢ：ＰＱ　　　　５√５：χ＝５√２：ａ　　これを　ａ　について解くと　　ａ＝√２χ／√５　　となる　　　正方形ＰＱＲＳの面積がｙなので　　ｙ＝(√２χ／√５)^２　　　ｙ＝２χ^２／５
３）　　ｙ＝２５／２　になるので・・　　（２）の式からχを求める　　２５／２＝２／５　χ２　　χ２＝１２５／４　　χ≧０なので　　χ＝５√５／２　ＯＡ＝５√５なので・・　ＯＰは　ＯＡの半分であることが分かる。　つまり　ＯＰ：ＯＡ＝１：２　このことから　四角錐の体積　Ｏ-PQRS：Ｏ－ＡＢＣＤ＝１^３：２^３＝１：８　ここでＯ－ＡＢＣＤの体積は　５√２×５√２×１０÷３　＝５００／３　であるので・・　Ｏ－ＰＱＲＳ＝５００／３÷８＝１２５／６　体積　Ｏ-ＰＱＲＳ　は　１２５／６　cm^３

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