はじめまして、中一の女子です。
教えて下さい。明日までの宿題が分かりません。

縦、横４列の升目に１〜１６迄の数字を入れて
たて・横・斜めの数の和が等しくなるようにする。

と言う問題です。お願いです教えて下さい。

       ユミ子

☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆

という質問を頂きました。

ずばり、この問題は、魔方陣（魔法陣）という問題です。

☆　魔法陣とは、正方形を縦横等分した中に、数字を入れて縦横斜めを、たし（＋）ても合計が同じになるようにすることです。

作り方としては、ある方法を利用すると、簡単に作ることもできます。（ｍｏｒｉさんの情報を見る。）
しかし、数学ですから数を扱う感覚を学んで欲しいので・・・

魔法陣を考える場合、まず簡単なのは、奇数の場合です。
一番簡単な３×３の魔法陣（１〜９）で考えてみましょう。
 

この枠の中に１〜９を当てはめます。

【考え方】
�@　全ての数をたすと　１＋２＋３＋・・・・＋９＝４５
�A　縦・横の１列の和は、４５÷３＝１５となる。
�B　１　２　３　４　５　６　７　８　９　を両端からたしていく。（ガウスの方法のように）
　　１＋９，２＋８，３＋７，４＋６　とすると、１０が４組　と　５があまる！←これがポイント！
�C　中央を含む列を考えると「斜め　／＼　縦横―｜　」の４通りがある。
�D　１列の和は、１５である。�Cから、中央を５にして、４組の１０を配置すればよい！
　　つまり、中央の数は、　５　しかない！

	５

�Dあとは、５をはさんで、１：９　２：８　３：７　４：６　を配置していく。
　仮に１隅に９を置いたとする。と１列の残りの２マスの合計は６である。
　２つで６になる組み合わせは（１，５）（２，４）（３，３）しかない。
　しかし、ここで、考えていただきたい。
　（１，５）の１は、９の対角線上にあるはずなのでダメ！
　（３，３）に関しては言うまでもないでしょう！同じ数を２つ使っているのでダメ！
　すると、自然と（２，４）しか無いことがわかる。
　故に９は４隅にはおけない。
　以上のことから、下図ができる。

	１
	５
２	９	４

�Eこれに合わせて、２・４の対角線上に１０の補数を置けばよい。

６	１	８
	５
２	９	４

�Fあとは、（３，７）を空いたところに当てはめれば、完成！

６	１	８
７	５	３
２	９	４

 

さて、いよいよ４×４の魔法陣です。
４×４の場合、中央にくる数を見つけられません。特殊なんです。
�@１列の和を出しましょう。
　１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０＋１１＋１２＋１３＋１４＋１５＋１６＝１３６
　これを４列でわると
　１２６÷４＝３４
　つまり、１列は３４になるのです。

�Aここで、先ほどと同じようにガウスのように３４の半分１７の組を作ります。
（１，１６）（２，１５）（３，１４）（４，１３）（５，１２）（６，１１）（７，１０）（８，９）の８組

�Bとりあえず、１〜１６をマスに入れてみます。

１	２	３	４
５	６	７	８
９	１０	１１	１２
１３	１４	１５	１６

�Cこの�Bの表中に�Aの組が同列上に登場しているところを見つけます。

１	２	３	４
５	６	７	８
９	１０	１１	１２
１３	１４	１５	１６

つまり、斜めの列に関しては、和が３４になったわけです。
これを動かすのは、もったいない！

�Dその他のマスを動かして考えましょう！

１	(ア)	(イ)	４
(ウ)	６	７	(エ)
(オ)	１０	１１	(カ)
１３	(キ)	(ク)	１６

(ア)と(キ)の和は、３４−(６＋１０)＝１８　残った数で１８となるのは、１５＋３　しかない。
(イ)と(ク)の和は、３４−（７＋１１）＝１６　残った数で１６になるのは、１４＋２ しかない。
(ア)と(イ)、(キ)と(ク)を入れ替えると良さそうだが、１からの横列の和が小さく１３からの横列が大きくなる。
そこで、

１	１５	１４	４
(ウ)	６	７	(エ)
(オ)	１０	１１	(カ)
１３	３	２	１６

と、入れ替えてみる。すると、横列は　（１＋１５＋１４＋４）＝３４：（１３＋３＋２＋１６）＝３４となり、合う。

残りは、ウエオカの４つ
(ウ)と(エ)の和は、３４−(６＋７)＝２１　残った数で２１となるのは、９＋１２　しかない。
(オ)と(カ)の和は、３４−（１０＋１１）＝１３　残った数で１３　になるのは、５＋８ しかない。
さっきと同様に

１	１５	１４	４
１２	６	７	９
８	１０	１１	５
１３	３	２	１６

と、入れ替えてみる。
すると、縦列は　（１＋１２＋８＋１３）＝３４：（４＋９＋５＋１６）＝３４となり、合う。

これで、４×４の魔法陣は完成します。
 

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