台形に関する問題

syunさんからの情報

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すみませんがおしえてください・・・投稿者：syun 2003/09/06(Sat) 02:17 No.394

解答をもらっていない問題集なので、教えて下さい・・・。
三平方の定理の単元なのですが・・・。

図で、四角形ABCDはAD〃BCの台形、
Eは辺BC上の点でBE=2EC、
Fは線分AEとDBとの交点である。
また、△ABEは正三角形、△DECはDE=DCの二等辺三角形である。
BC=６cmのとき、次の問いに答えよ。

１）線分DEの長さは何cmか。
２）△FBEの面積は△DECの面積の何倍か。

よろしくおねがいします・・・。

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　コメント；三平方の定理は、どこに直角三角形を見つけるかが重要！
　　　　　　面積を比較する場合は基本的には、底辺の比で出せます！
　　　　　　面積の比に関しては慣れが必要ですね！

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解説

	１）DEの長さを求める　　BC=６cm　でBE:ＥＣ＝２：１だから　　ＢＥ＝４cm 　　　三角形ＡＢＥは正三角形だから　　ＡＢ＝ＢＥ＝ＡＥ＝４cm 　　AからＢＥに垂線ＡＭをおろすと　　直角三角形ＡＢＭができる　　三平方の定理で　　ＡＢ２＝ＢＭ２＋ＡＭ２　　１６　＝４　＋ＡＭ２　　ＡＭ２＝１６－４＝１２　　ＡＭ＞０だから　　ＡＭ＝√１２＝２√３　　台形なので　　ＤＨ＝２√３　　三平方の定理より　　ＤＥ２＝ＥＨ２＋ＤＨ２　　ＤＥ２＝１＋１２＝１３　ＤＥ＞０だから　　ＤＥ＝√１３
	２）△ＦＢＥの面積は△ＤＥＣの何倍か！？　　まずは、△ＤＢＥ：△ＤＥＣは　　底辺が２：１なので　　面積も　２：１　　△ＤＢＥ：△ＤＥＣ＝２：１　です
	ＡＤ//ＢＥなので　　△ＦＤＡと△ＦＢＥは相似　　ＢＥ：ＤＡについてを考える！
	左図のように　Ｅ　からＡＤに垂線ＥＮをひく　　するとＡＮ＝ＭＥということがわかり　　ＢＭ＝２cmだから　　ＡＮ＝２cm 　　同様に　　ND＝１cm 　このことから　　ＡＤ＝３cm
	だからＢＥ：ＡＤ＝４：３となる。　　つまり　　　ＢＦ：ＦＤ＝４：３　となる。　　このことから　　　△ＢＦＥ：△ＥＦＤ＝４：３　　　　　　　　　　となることが分かる
①②	①図の１と②図の４の部分を比較すればよい　　のだが、４＋３＝７なので比較しようがない・・
③④	③図のように　８：６　と見ると全部で１４となる　　だから、④図の部分は１４：７となる
	そこで図のように８：６：７の面積比が分かる！　　問題の△ＦＢＥの面積は△ＤＥＣの何倍かに　　関しては　　８／７倍　が答えになる！

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底辺の比と面積の比

下の図の三角形は全て底辺の長さがａ　高さがｂの三角形です。
すると、全て面積は　ａｂ／２　となります。
どれも面積が同じです！
　　

つまり、底辺が同じで面積が等しい三角形を並べていくとその頂点は
　　

このことから、高さを共通とする三角形の面積比は底辺の比で表すことができる！