８角形の面積
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左図のように、半径Ｒの円Ｏがあり、 その中に内接する正８角形の面積を考えました。 【見通し】 正８角形ですから、図の△ＡＯＢと合同な二等辺三角形が８個あります。 △ＡＯＢの面積を求めて８倍すれば良いわけです。 【解説】 △ＡＯＢの底辺はＲで高さはｈであるとし、 ｈをＲで表すことを考える。 ∠ＡＯＢ＝３６０÷８＝４５゜ ＡＨ⊥ＯＢなので、 △ＡＯＨはＡＨ＝ＯＨの直角二等辺三角形である。 つまり、辺の比は ＡＨ：ＯＨ：ＡＯ＝１：１：√２ そこで、ｒ＝√２Ｒ/２ ＝ｈ となる。 △ＡＯＢ＝ＯＢ×ＡＨ÷２＝Ｒ×√２Ｒ／２÷２ ＝√２Ｒ２／４ よって、求める８角形の面積は √２Ｒ２／４×８＝ ２√２Ｒ２ |
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さらにＡＢ＝ａとして、Ｒを使わずに面積を求める方法を考えます。 上の解説をそのまま生かして、一辺の長さをａとして ａで面積を求めてみます。 【見通し】 基本的には、上の解説の通りですが、Ｒをａで表す事ができればよいわけです。 Ｒ＝ｈ＋χ Ｒ＝√２ｈ という性質を利用すれば解決できそうです。 【解説】 △ＡＯＢはＯＡ＝ＯＢの二等辺三角形である。 Ｒ＝ｈ＋χ …① △ＡＯＨは直角二等辺三角形だから。 Ｒ＝√２ｈ √２ ｈ＝――Ｒ …② ２ ①と②から χ＝Ｒ－ｈ χ＝(√２－１)ｈ √２ χ＝(√２－１)――Ｒ ２ ２－√２ χ＝――――Ｒ …③ ２ また△AHBは直角三角形なので ａ２＝ｈ２＋χ２ これに、②③を代入 ａ２＝(２－√２)Ｒ２ ２＋√２ Ｒ２＝――――ａ２ ２ ２＋√２ ２√２Ｒ２＝２√２×――――ａ２ ２ ＝２(√２＋１)ａ２ |