任意の平行線上の正三角形の作図

    NJさんからの質問   2015/01/01(Thu) 14:07:17
 
私が中学生 確か2年生の時に教官から出された問題です
ほぼ50年前です。父親(すでに死亡)と1月も考えましたが わかりませんでした。
学年の終わりに作図方法を教えてもらったのですが記録しませんでした。今もとても気になっています。
三本の平行線上に 頂点を持つ正三角形の作図 の応用編でしょうか?

 
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問題;平面上の一点に共通の起点を持つ任意の方向への三本の線分を考える。
この3本の線分上に頂点を持つ正三角形を作図せよ。

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 幾何学の的確な表現を忘れましたので正確ではありませんが 題意はご理解いただけると存じます。
 今もって非常に気になっています。
 ぜひ解答を教えてください。


   

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任意の三本の線分上に 頂点を持つ正三角形の作図 解答


この問題を解決するためには、任意の三本の線分がどのような状態であるかが、重要であります。
実際、正三角形が作図できない場合も存在しており、作図できない場合の理由等が未だ解明できていません。
 どなたか、ご教授ください。



@
1 3直線が同方向である場合。
   (3線分ともに 180゜内にある)

@ 1つの線分上に正三角形OAPを作図する
  ⇒ 60゜の作図
(方法は省略)
A A

 真ん中の線分上に任意の点Qをとり

  ∠QOA=∠RPA  となるよう 点Rを作図する。

    ※ △QOA≡△RPA となるように
     作図すればよい。
B
B

 Aの PR を延長し、線分との 交点を B とする。
 C C

 PB=OC となる点Cを作図

 これらのことから、

  △BPA≡△COA

 合同なので
    AB = AC

 

D

D
 △BAP ≡ △CAOなので
 ∠PAO+∠OAB= ∠OAB+∠CAB

 ∠OABは共通だから

  ∠CAB=∠PAO=60゜


 C から 
  AB = AC で ∠BAC=60゜なので

 △ABCは正三角形




@
2 3線分が別方向である場合。
    3線分のいずれかが
   180゜を超えた位置にある

@ 1つの線分上に正三角形AOPを作図する
  ⇒ 60゜の作図
(方法は省略)
A
A
 図のように任意の点Rを決め

 ∠AOR = ∠APQ と

 なるよう 点Qを作図する。

    ※ △AOR≡△APQ となるように
     作図すればよい。
 B

 B AのPQを延長し
  線分との交点をCとする
 C

 C PC = OB となるように
  点Bをとる

  △PAC≡△OAB なので
  ∠PAC= ∠OAB
  ∠CAOは共通なので
  ∠PAO=∠CAB=60゜


同様に
  △PAC≡ △OAB なので
   AC = AB


 このことから
 △ABCは正三角形