倉岳中学校の３年生徒からの質問
 

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊   ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡのひし形がある。 点ＭはＡＢの中点で、ＣＦ：ＦＤ＝１：３で ＢＣの延長線とＡＦの延長線の交点をＧとする。 また、点ＥはＡＦの延長線でＡＥ＝ＢＥである。 (1)　△ＦＣＧ：△ＡＭＤを求めよ。 (2)　ＡＣ＝ＡＤのとき 　　△ＦＣＧ：△ＡＢＥを求めよ。 ＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

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ひし形と三角形の面積比　解答

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　倉岳中学生

(1)�@	�@　 左図の赤と黄色の面積比を考える。 目標を持とう！ 　面積比は　高さの等しい三角形の底辺の比で求める！ 　△ＦＣＧと高さが等しい三角形を見つけよう！ 　 　△ＣＦＡ　が高さが等しい！（底辺をＦＧとＡＦと見る） 　△ＣＦＧ：△ＣＦＡ　＝　ＧＦ：ＦＡ 　さ〜　考えよう！
�A	�A 　　ひし形なのでＡＤ//BC 　　このことから左図のような２つの三角形は相似である。 　　(２組の角・・証明略) 　　ここで 　　　　ＣＦ：ＦＤ＝１：３なので 　　　　ＧＦ：ＦＡ＝１：３
�B	�B 　�Aから 　△ＦＣＧ：△ＣＦＡ＝１：３
�C	�C 　同様に 　　△ＡＣＦ：ＡＦＤ＝１：３ 　　このことから、 　　△ＦＣＧ：△ＡＦＤ＝１：３×３ 　　　　　　　　　　　　＝１：９
�D	�D 　�Cから 　△ＦＣＧ：△ＡＣＤ＝１：９＋３ 　　　　　　　　　　　＝１：１２ 　 　また、ひし形なので 　△ＡＢＣ＝△ＡＣＤ 　よって、△ＦＣＧ：△ＡＢＣ＝１：１２
�E	�E 　�Dから△ＡＭＣは△ＡＢＣの半分なので 　△ＣＦＧ：△ＡＭＣ＝１：１２÷２ 　　　　　　　　　　　　＝１：６ 　また、 　ＡＭ//ＤＣなので 　△ＡＭＣ＝△ＡＭＤ　(さが等しい) 　これから 　　△ＦＣＧ：△ＡＭＤ＝１：６

(2)�@	�@　 左図の赤と黄色の面積比を考える。 目標を持とう！ 　△ＡＢＥは△ＡＭＥの２倍 　△ＦＣＧと△ＡＭＥを考えよう！
�A	�A 　　(1)で 　　　△ＦＣＧ：△ＡＣＦ＝１：３
�B	�B 　ここで 　ひし形なので　ＡＭ//ＤＣである。 　またＣＦ：ＦＤ＝１：３なので　ＣＦ：ＡＭ＝１：２ 　このことから中点連結定理の逆から 　ＡＦ＝ＦＥ，ＭＣ＝ＣＥ
�C	�C 　このことから 　　△ＡＣＦ：△ＦＣＥ＝１：１ 　　△ＦＣＧ：△ＡＣＦ＝１：３だから 　　△ＦＣＧ：△ＡＣＥ＝１：６
	�D 　�Cから 　△ＦＣＧ：△ＡＣＤ＝１：９＋３ 　　　　　　　　　　　＝１：１２ 　 　また、ひし形なので 　△ＡＢＣ＝△ＡＣＤ 　よって、 　　△ＦＣＧ：△ＡＭＣ＝１：１２÷２ 　　　　　　　　　　　　　＝１：６ このことと�Cから 　　△ＦＣＧ：△ＡＭＥ＝１：６＋６ 　　　　　　　　　　　　　＝１：１２ 　よって 　△ＦＣＧ：△ＡＢＥ＝１：１２×２ 　　　　　　　　　　　　　　　　＝１：２４